O paradoxo de Monty Hall - um dos problemas mais contra-intuitivos do século 20

08/08/2018

Há um ano tivemos a morte de Monty Hall, uma espécie de Silvio Santos norte-americano, âncora do programa "Let´s make a deal" e responsável por um polêmico jogo de auditório que se tornou famoso por ser um dos mais contra-intuitivos do século 20.

Neste jogo, Monty Hall oferece a um de seus convidados a chance de ganhar um carro ao tentar adivinhar, ao escolher entre três portas, onde está o veículo. Atrás das três portas (1, 2 e 3), além do carro, temos duas cabras.

Em busca de um novo carro, o jogador escolhe a porta 1. O apresentador então abre a porta 3 revelando que ela não tem o carro, e oferece ao jogador a possibilidade de escolher a porta 2 ao invés da porta 1.

O jogo acontece da seguinte forma:

1. Monty Hall oferece a seu convidado a opção de escolher uma entre três portas. Vamos assumir, como exemplo, que o convidado escolhe a porta 1.

2. Monty Hall, ciente da localização do carro, abre sempre uma segunda porta, contendo uma cabra, pois não pode, de forma alguma, estragar o show ao abrir a porta contendo o carro. Neste caso, como exemplo, vamos assumir que Monty Hall abra a porta 3.

3. Monty Hall prossegue e pergunta ao convidado -- você deseja trocar a sua escolha, da porta 1 para a porta 2?

E é exatamente aí onde reside toda a polêmica com relação a este famoso jogo. Faz alguma diferença o convidado trocar entre as opções 1 e 2, em termos probabilísticos? Pense nisso...

Se você diz que não, você está pensando de forma intuitiva e seu pensamento está alinhado com 99,9% das pessoas que enfrentaram esta questão no início dos anos 90. Afinal, a chance de descoberta do carro é de 1/3. Uma vez aberta a terceira porta, a chance entre a porta 1 e a porta 2 é de 50% para cada alternativa. Uma troca entre as alternativas seria indiferente.

Só que esta resposta está errada! Perguntado se você deseja trocar a sua escolha original, sua resposta deve ser sempre sim, pois, desta forma, você elevará as suas chances de ganhar um carro de 1/3 para 2/3. Se você está confuso, não se desanime.

Marilyn Vos Savant, conhecida por ter o maior QI do mundo de acordo com o livro Guiness, foi quem provocou o mundo com este problema em 1990 através de sua coluna Ask Marilyn na Revista Parade. Sua resposta gerou enorme polêmica, pois diversos matemáticos e estatísticos a criticaram dizendo que ela decepcionava o mundo matemático ao cometer tamanha "heresia". Marilyn precisou escrever mais duas colunas para convencer que o mundo estava errado e ela certa.

Um explicação do problema pode ser facilmente acessada via youtube, aqui https://youtu.be/6_mMLdAzUCE.

A explicação é a seguinte:

1. A chance original do convidado acertar é de 1/3, o que implica que a chance dele errar seja de 2/3.

2. Agora temos que fazer uma simulação a posteriori. (e é aí que dá um nó em nosso pensamento)

3. Pense o seguinte: o convidado escolhe a porta 1. Ele não sabe se há um carro ou não. Porém, vamos imaginar que há. A chance deste evento é de 1/3.

4. Sempre que o convidado escolher a porta certa (aquela onde está o carro), o apresentador (que sabe onde está o carro a priori) poderá abrir a porta 2 ou 3. Vamos assumir que ele abra a porta 3.

5. Ao trocar de escolha (trocar porta 1 para a porta 2), o convidado não ganhará o carro; ficará com uma cabra.

6. Agora pense que o convidado escolheu a porta errada (vamos assumir a 2). O apresentador vai e abre a porta 3 (cabra) e pergunta se o convidado deseja trocar para a porta 1. O convidado diz sim, e ganha o carro, pois este está na porta 1.

7. Sempre que o convidado escolher a porta errada (a posteriori) e trocar, ele saíra ganhador do carro. Escolher a porta errada é algo que acontece com uma frequência de 2/3. Por isso, neste caso, trocar é sempre a melhor escolha.

Se eu não fui claro o suficiente (provavelmente não fui), dê uma olhada no vídeo no youtube, em anexo.

Trago este problema por ser parte integral de livros fascinantes como O Andar do Bêbado e muitos outros. Já apresentei tal problema junto com outros problemas famosos como o Paradoxo do Aniversário e o problema dos 9 pontos. Em comum, tais problemas desempenham um ótimo papel ao nos confrontar com as nossas limitações e contribuem para que tenhamos uma atitude mais modesta.

Marink Martins

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